在《運(yùn)營SaaS業(yè)務(wù)的三個核心指標(biāo)》中曾經(jīng)埋了這么一個坑：

由于有時候客戶生命周期很難直觀獲得，在計算生命周期時，我們可以使用如下公式：

LT = 1 / Customer Churn Rate

其中，Customer Churn Rate為客戶的流失率，一般通過當(dāng)期（月度或年度）流失的客戶數(shù)/總客戶數(shù)得來。

很多細(xì)心的讀者對此提出了疑問，憑什么“客戶生命周期就是流失率的倒數(shù)”呢？

Prash Majmudar有個帖子很好的解釋了這個問題。本文就是對這個帖子的整理和發(fā)展。

客戶流失和生命周期的定義

首先，解釋一下客戶流失到底是什么意思。我們可以將客戶流失定義為一年結(jié)束時客戶離開我們的概率。例如，如果客戶流失率是50%，那么年底時，客戶流失的概率和拋硬幣猜正反面是類似的：正面客戶會流失，反面客戶會續(xù)約。當(dāng)然，我們可以選擇任何時間長度來考慮這個問題，不一定非要一年，例如，可以統(tǒng)計每天、每周或每月的客戶流失情況。

顯然50%的流失率高得離譜，現(xiàn)在我們假設(shè)流失率為20%。我們可以得到一年后，客戶流失的概率P等于：

P（Y=1）= 0.2

我們還可以問這樣一個問題：客戶兩年后流失的概率是多少？在這種情況下，他們第1年續(xù)約(續(xù)約概率為0.8)，但在第2年年底流失了。所以2年后客戶流失的概率是:

P（Y=2）=0.8 * 0.2 = 0.16

因此，兩年后客戶流失的概率為0.16或16%。同樣我們可以問一個客戶在3年甚至10年(9次續(xù)約后流失)后流失的概率是多少?

P（Y=3）=0.8*0.8*0.2=0.128

P（Y=10）=0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.8*0.2=0.027

我們計算出，一個客戶3年后流失的概率為0.128，或者說，該客戶擁有3年的客戶生命周期。同樣，我們也可以說客戶有2.7%的概率擁有10年的生命周期。

客戶流失的簡單模型：幾何分布

第10年的那個計算寫起來有點(diǎn)乏味，我們可以把它寫得更一般些:

P（Y=y）= p(1-p)y-1 y=1,2,3,....,10

p為客戶流失率，在0和1之間。

我們發(fā)現(xiàn)，上面這個方程描述的就是典型的幾何分布，這是一種離散型概率分布，用于模擬直到一個事件發(fā)生(在我們的例子中，是指客戶流失)，某個試驗進(jìn)行的次數(shù)(在我們的例子中，試驗是客戶決定續(xù)約或流失的連續(xù)年份)的概率分布。

為了說明它與我們之前的例子之間的關(guān)系，對于20%的流失率，p=0.2，帶入公式:

P（Y=y）= p(1-p)y-1

得到，P（Y=y）=0.2*(1-0.2)^y-1，化簡得到 P（Y=y）=0.2 * 0.8^y-1

我們可以畫出每年的這個概率，直觀地展示客戶在第1、2、3、4……年之后流失的概率。我們還可以繪制出p=0.1時的情況，也就是說，在流失率為10%的情況下的客戶流失概率情況:

在左邊的圖中，正如預(yù)期的那樣，我們可以看到一年后的流失概率是20%，兩年后流失的概率是16%——正如我們之前計算的那樣。留住一個客戶5年的概率（也就是4次續(xù)約后流失的概率）只有8.2%，然而這為何恰巧是我們估算的客戶平均生命周期呢？

我們可以通過計算每年做出的加權(quán)貢獻(xiàn)的總和來計算平均客戶壽命:

平均生命周期 = P（Y=1）*1 + P（Y=2）*2 + P（Y=3）*3...

=0.2*1 + 0.16*2 + 0.128*3...

這個加和可以永遠(yuǎn)持續(xù)下去，我們可以畫出它是如何隨著每一個貢獻(xiàn)而增長的:

從上圖形象化角度我們可以發(fā)現(xiàn)，在流失率為0.2的情況下，客戶平均生命周期極限為5年。

在Prash Majmudar的文章中，他繼續(xù)進(jìn)行了解釋和證明。其實(shí)，在證明了客戶流失率屬于幾何分布之后，我們就可以利用幾何分布的數(shù)學(xué)期望得到答案了。

幾何分布的數(shù)學(xué)期望

幾何分布具有如下規(guī)律：

為得到1次成功事件（概率為p）而進(jìn)行n次伯努利試驗，所進(jìn)行的試驗次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望如下：

怎么理解呢？

假如，你表白你的暗戀對象，如果你每次表白的成功概率是60%，同時你也符合幾何分布的特點(diǎn)，所以表白次數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(x)=1/p=1/0.6=1.67。你可以期望自己表白1.67次（約等于2次），就會成功。

同理，如果你的客戶流失率為20%，同時它也符合幾何分布的特點(diǎn)，所以E(x)=1/p=1/0.2=5。也就是說平均試驗5次，客戶流失就會發(fā)生，即客戶的平均生命周期為5年。至此，客戶平均生命周期是流失率的倒數(shù)就很容易理解了，即Customer Average Life Time = 1 / Customer Churn Rate